集合と直積の monoidal 圈
集合の圈$ \bf Setと直積$ \timesは monoidal 圈$ ({\bf Set},\times,\{*\},\alpha,{\rm snd},{\rm fst})を成す 直積は雙函手$ {\bf Set}\times{\bf Set}\to{\bf Set}である 對象の對應
集合$ A=\{a,…\},$ B=\{b,…\}に對して直積$ A\times B=\{(a,b),…\}を對應させる 射の對應
寫像$ f:A\to C,$ g:B\to Dに對して寫像$ f\times g:A\times B\to C\times D,(a,b)\mapsto(f(a),g(b))を對應させる
射$ f\times g:A\times B\to C\times D,$ h\times i:C\times D\to E\times Fの合成は$ ((f\times g);(h\times i))((a,b))=((f;h)(a),(g;i)(b))で與へる
射の合成の結合を保つ
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(((f\times g);(h\times i));(j\times k))((a,b))= \\
(j\times k)((f;h)(a),(g;i)(b))= \\
(((f;h);j)(a),((g;i);k)(b))= \\
((f;(h;j))(a),(g;(i;k))(b))= \\
((h\times i);(j\times k))(f(a),g(b))= \\
((f\times g);((h\times i);(j\times k)))((a,b))
恆等射を保つ$ ({\rm id}_A\times{\rm id}_B)((a,b))=({\rm id}_A(a),{\rm id}_B(b))=(a,b)={\rm id}_{A\times B}((a,b)) 單集合 (singleton)$ \{*\},$ \{*'\}の閒には唯一つの寫像$ f(*)=*'が在る。この逆寫像は$ f^{-1}(*')=*であり、$ (f;f^{-1})(*)=f^{-1}(*')=*={\rm id}_*(*),$ (f^{-1};f)(*')=f(*)=*'={\rm id}_{*'}(*')であるから$ f,$ f^{-1}は同型射である。故に$ \{*\},$ \{*'\}は同型であり、全ての單集合 (singleton)は同型である 函手$ F:({\bf Set}\times{\bf Set})\times{\bf Set}\to{\bf Set},((a,b),c)\mapsto((a,b),c),(f\times g)\times h\mapsto(f\times g)\times h,$ G:{\bf Set}\times({\bf Set}\times{\bf Set})\to{\bf Set},(a,(b,c))\mapsto(a,(b,c)),f\times(g\times h)\mapsto f\times(g\times h)の閒の自然變換$ \alpha:((x,y),z)\Rarr(x,(y,z))を結合律子と出來、自然同型である $ \alphaは自然變換である。$ F((f\times g)\times h);\alpha=\alpha;G(f\times(g\times h)) $ \alphaの成分 (component) は同型射である。$ \alpha(((x,y),z))=(x,(y,x))に對して$ \alpha^{-1}((x,(y,z)))=((x,y),z)である 函手$ F:{\bf Set}\to{\bf Set},A\mapsto\{*\}\times A,f\mapsto{\rm id}_{\{*\}}\times f,$ {\rm id}_{\bf Set}:{\bf Set}\to{\bf Set}の閒の自然變換$ {\rm snd}:F\Rarr{\rm id}_{\bf Set},(*,\_)\mapsto\_を左單位律子と出來、自然同型である $ \rm sndは自然變換である。寫像$ f:A\to B,a\mapsto bの時、$ (F(f);{\rm snd}_B)((*,a))=(({\rm id}_{\{*\}}\times f);{\rm snd}_B)((*,a))={\rm snd}_B((*,b))=b=f(a)=({\rm id}_{\bf Set}(f))(a)=({\rm snd}_A;{\rm id}_{\bf Set}(f))((*,a)) $ \rm sndの成分は同型射である。$ {\rm snd}^{-1}(\_)=(*,\_)である 函手$ F:{\bf Set}\to{\bf Set},A\mapsto A\times\{*\},f\mapsto f\times{\rm id}_{\{*\}},$ {\rm id}_{\bf Set}:{\bf Set}\to{\bf Set}の閒の自然變換$ {\rm fst}:F\Rarr{\rm id}_{\bf Set},(\_,*)\mapsto\_を右單位律子と出來、自然同型である $ \rm sndと同樣
$ ((A\times B)\times C)\times D\xrightarrow{\alpha\times{\rm id}}(A\times(B\times C))\times D\xrightarrow\alpha A\times((B\times C)\times D)\xrightarrow{{\rm id}\times\alpha}A\times(B\times(C\times D))\xleftarrow\alpha(A\times B)\times(C\times D)\xleftarrow\alpha((A\times B)\times C)\times D
$ \alphaが要素の組の順番を入れ換へるだけなので、域・餘域が合ってゐれば可換
$ (A\times\{*\})\times B\xrightarrow\alpha A\times(\{*\}\times B)\xrightarrow{{\rm id}\times{\rm snd}}A\times B\xleftarrow{{\rm fst}\times{\rm id}}(A\times\{*\})\times B
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